Calculadora de matriz: determinante, inversa e produto

Passo a passo

Regra de Sarrus: repita as duas primeiras colunas à direita de A.
2 1 3 2 1
4 −1 0 4 −1
1 2 5 1 2
Multiplique as três diagonais principais (↘, de cima à esquerda para baixo à direita) e some.
2·(−1)·5 = −10
1·0·1 = 0
3·4·2 = 24
soma = (−10) + 0 + 24 = 14
Multiplique as três diagonais secundárias (↙, de cima à direita para baixo à esquerda) e some.
3·(−1)·1 = −3
2·0·2 = 0
1·4·5 = 20
soma = (−3) + 0 + 20 = 17
O determinante é a soma das principais menos a soma das secundárias.
det A = 14 − 17 = −3
Determinante diferente de zero: a matriz é invertível.
det A = −3

Resumo rápido

Determinante 2×2: diagonal principal menos diagonal secundária (ad − bc).

Determinante 3×3: regra de Sarrus. Em 4×4: teorema de Laplace pela fila com mais zeros.

Inversa só existe se det ≠ 0. A⁻¹ = adj A ÷ det A, ou Gauss-Jordan em [A | I].

A × B exige colunas de A = linhas de B, e em geral A × B ≠ B × A.

Como calcular o determinante de uma matriz

O determinante é um número que se calcula a partir de uma matriz quadrada. Em 2×2, é o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária. Em 3×3, use a regra de Sarrus. Em 4×4 ou maior, use o teorema de Laplace. Se o determinante der zero, a matriz não tem inversa.

Na BNCC, matrizes não aparecem com esse nome. Elas entram no ensino médio junto com os sistemas de equações lineares (habilidade EM13MAT301), porque um sistema pode ser escrito como A · X = B, e o determinante de A diz se ele tem solução única.

Regra de Sarrus, passo a passo

Copie a primeira e a segunda coluna ao lado da matriz. Agora há três diagonais completas descendo para a direita e três descendo para a esquerda. Multiplique os três números de cada diagonal. Some os produtos das diagonais para a direita, some os das diagonais para a esquerda e subtraia.

Exemplo resolvido · det de [2 1 3; 4 −1 0; 1 2 5] Diagonais principais: 2·(−1)·5 = −10 · 1·0·1 = 0 · 3·4·2 = 24
Soma: −10 + 0 + 24 = 14
Diagonais secundárias: 3·(−1)·1 = −3 · 2·0·2 = 0 · 1·4·5 = 20
Soma: −3 + 0 + 20 = 17
det A = 14 − 17 = −3

O erro mais comum está nos sinais. Com números negativos na matriz, escreva cada fator entre parênteses antes de multiplicar. E lembre que a segunda soma entra inteira com sinal de menos: 14 − 17, e não 14 − (−3) + 0 + 20.

Determinante 4×4 pelo teorema de Laplace

Escolha uma linha ou coluna. Para cada elemento dela, tire a linha e a coluna do elemento: sobra uma matriz 3×3, cujo determinante você calcula por Sarrus. Esse número com o sinal (−1)^i+j é o cofator. O determinante é a soma de cada elemento vezes o seu cofator.

Por isso vale escolher a fila com mais zeros. Na matriz 4×4 padrão da calculadora, a linha 4 é (0, 3, 0, 2). Dois termos somem e sobram só dois determinantes 3×3: det A = 3 · (−7) + 2 · (−3) = −27. Pela linha 1, que tem um zero só, seriam três.

Matriz inversa

A inversa de A é a matriz A⁻¹ tal que A · A⁻¹ = I, a identidade. Ela só existe se det A for diferente de zero. Em 2×2 há um atalho: troque os elementos da diagonal principal, troque o sinal dos da secundária e divida pelo determinante.

Exemplo resolvido · inversa de [4 7; 2 6] det = 4·6 − 7·2 = 24 − 14 = 10
Adjunta: [6 −7; −2 4]
A⁻¹ = [6 −7; −2 4] ÷ 10 = [3/5 −7/10; −1/5 2/5]
Em decimal: [0,6 −0,7; −0,2 0,4]

Em 3×3, o caminho é o mesmo com mais contas: calcule os nove cofatores (cada um é um determinante 2×2 com sinal), monte a matriz dos cofatores, transponha para ter a adjunta e divida pelo determinante. Em 4×4, a calculadora usa Gauss-Jordan: escreve [A | I] e faz operações de linha até o lado esquerdo virar a identidade. O que sobra à direita é A⁻¹. Se alguma coluna fica sem pivô, a matriz é singular.

Multiplicação de matrizes

Para multiplicar A por B, o número de colunas de A precisa ser igual ao de linhas de B. O elemento da linha i e coluna j do resultado é a linha i de A combinada com a coluna j de B: multiplique termo a termo e some. Com A = [2 1 3; 4 −1 0; 1 2 5] e a coluna (1, 0, 3), o primeiro elemento é 2·1 + 1·0 + 3·3 = 11.

A ordem importa. A × B e B × A costumam dar resultados diferentes, e às vezes só um dos dois existe. Soma, subtração e multiplicação por um número são mais simples: a conta é feita posição por posição.

Erros comuns

Usar Sarrus em matriz 4×4. A regra só funciona em 3×3.
Esquecer o sinal (−1)^i+j do cofator. Ele alterna em xadrez, começando com + no canto de cima à esquerda.
Montar a adjunta sem transpor a matriz dos cofatores.
Multiplicar matrizes elemento a elemento, como se fosse soma.

Quando a inversa sai em frações, a calculadora de fração simplifica e converte para decimal. Para achar o MDC que simplifica uma linha inteira, use a calculadora de MMC e MDC. Se o problema acabou numa equação com x², resolva na calculadora de equação do 2º grau, e se apareceu um expoente desconhecido, a calculadora de logaritmo resolve.

Perguntas frequentes

Como calcular o determinante de uma matriz 3×3?

Pela regra de Sarrus. Repita as duas primeiras colunas à direita da matriz, multiplique as três diagonais que descem para a direita e some, depois multiplique as três que descem para a esquerda e some. O determinante é a primeira soma menos a segunda.

Dá para usar Sarrus em matriz 4×4?

Não. Sarrus só vale para 3×3. Em 4×4 use o teorema de Laplace: escolha uma linha ou coluna, multiplique cada elemento pelo seu cofator e some. Escolher a fila com mais zeros encurta a conta, porque elemento zero não precisa de cofator.

Quando uma matriz não tem inversa?

Quando o determinante é zero. Nesse caso a matriz é chamada de singular: alguma linha é combinação das outras, e não existe matriz que multiplicada por ela dê a identidade. Só matrizes quadradas podem ter inversa.

Como calcular a inversa de uma matriz 2×2?

Troque de lugar os dois elementos da diagonal principal, troque o sinal dos dois da diagonal secundária e divida tudo pelo determinante. Para [4 7; 2 6], o determinante é 4·6 − 7·2 = 10 e a inversa é [6 −7; −2 4] ÷ 10.

Quando é possível multiplicar duas matrizes?

Quando o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda. Uma 3×3 vezes uma 3×1 dá uma 3×1. Cada elemento do resultado é a soma dos produtos da linha da primeira pela coluna da segunda.

A × B é igual a B × A?

Em geral, não. O produto de matrizes não é comutativo, e às vezes B × A nem existe quando A × B existe. Há casos particulares em que as duas ordens dão o mesmo resultado, como uma matriz vezes a identidade ou vezes a própria inversa.

O que é a matriz transposta?

É a matriz que você obtém trocando linhas por colunas: a primeira linha vira a primeira coluna, e assim por diante. Se a transposta for igual à original, a matriz é simétrica. O determinante da transposta é igual ao da original.

Posso digitar frações e decimais?

Pode. A calculadora aceita inteiros, decimais com vírgula ou ponto (2,5 ou 2.5) e frações como 1/3 ou −3/4. As contas são feitas em frações exatas, então a inversa sai como 5/3, e não 1,6667.

Calculadora de matriz e determinante

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Resultado em forma de matriz