Calculadora de MMC e MDC

Digite de 2 a 10 números inteiros e veja o MMC e o MDC, a fatoração em primos de cada um, a tabela da decomposição simultânea e o algoritmo de Euclides.

MMC (mínimo múltiplo comum) 180 mmc(12, 18, 30) = 180 · mdc(12, 18, 30) = 6

MDC (máximo divisor comum): 6
MMC fatorado: 2² × 3² × 5
MDC fatorado: 2 × 3
12 em primos: 2² × 3
18 em primos: 2 × 3²
30 em primos: 2 × 3 × 5

Passo a passo: fatoração, decomposição e Euclides

Fatore cada número em primos.
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
30 = 2 × 3 × 5
Decomposição simultânea: divida todos os números pelo menor primo que divide pelo menos um deles; quem não é divisível desce igual. Repita até sobrar só 1. Os primos marcados com * dividiram todos ao mesmo tempo.
Decomposição simultânea em fatores primos
1º 2º 3º Primo
12 18 30 2 *
6 9 15 2
3 9 15 3 *
1 3 5 3
1 1 5 5
1 1 1
O MMC é o produto de todos os primos da coluna da direita (ou: cada primo com o maior expoente das fatorações).
mmc(12, 18, 30) = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2² × 3² × 5 = 180
O MDC é o produto só dos primos marcados com * (ou: os primos comuns a todos, com o menor expoente).
mdc(12, 18, 30) = 2 × 3 = 6
Conferindo o MDC pelo algoritmo de Euclides: divida o maior pelo menor, depois o divisor pelo resto, até o resto dar zero. O último divisor é o MDC. Com mais de dois números, faça em cadeia: o MDC dos dois primeiros com o terceiro, e assim por diante.
Algoritmo de Euclides
Dividendo Divisor Quociente Resto
mdc(18, 12)
18 12 1 6
12 6 2 0
mdc(30, 6)
30 6 5 0

Decomposição simultânea em fatores primos
1º	2º	3º	Primo
12	18	30	2 *
6	9	15	2
3	9	15	3 *
1	3	5	3
1	1	5	5
1	1	1

Algoritmo de Euclides
Dividendo	Divisor	Quociente	Resto
mdc(18, 12)
18	12	1	6
12	6	2	0
mdc(30, 6)
30	6	5	0

Resumo rápido

MMC: todos os primos das fatorações, cada um com o maior expoente.
MDC: só os primos comuns a todos, cada um com o menor expoente.
Na decomposição simultânea, o MMC é o produto de todos os divisores e o MDC, o produto dos que dividiram todos de uma vez.
Para dois números, MMC × MDC = produto dos números.

Como calcular MMC e MDC

O MMC (mínimo múltiplo comum) é o menor número que é múltiplo de todos os números dados. O MDC (máximo divisor comum) é o maior número que divide todos eles sem deixar resto. Para achar os dois, fatore cada número em primos: o MMC leva todos os primos com o maior expoente, e o MDC leva só os primos comuns, com o menor expoente.

Múltiplos, divisores e números primos são conteúdo do 6º ano na BNCC (habilidades EF06MA05 e EF06MA06). O MMC volta logo depois, na soma de frações, e o MDC na simplificação.

Fatoração em primos

Fatorar é escrever o número como produto de primos. 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3. 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3². Cada número inteiro maior que 1 tem uma só fatoração, a menos da ordem dos fatores. Com ela em mãos, MMC e MDC saem quase de graça.

Exemplo resolvido · MMC e MDC de 12 e 18 12 = 2² × 3 · 18 = 2 × 3²
MMC: primos 2 e 3, maior expoente de cada → 2² × 3² = 36
MDC: primos comuns 2 e 3, menor expoente → 2 × 3 = 6
Conferência: 36 × 6 = 216 = 12 × 18

Decomposição simultânea

É o método do "varal" que muitas escolas ensinam. Os números ficam lado a lado, e à direita de uma linha vertical vão os primos, do menor para o maior. A cada linha, divida quem for divisível; quem não for desce igual. Para 12 e 18:

12	18	Primo
12	18	2 *
6	9	2
3	9	3 *
1	3	3
1	1

O MMC é o produto de toda a coluna da direita: 2 × 2 × 3 × 3 = 36. O MDC é o produto só das linhas marcadas com *, em que o primo dividiu os dois números ao mesmo tempo: 2 × 3 = 6. A calculadora monta essa tabela para até 10 números.

Algoritmo de Euclides

Para o MDC de dois números grandes, fatorar cansa. Euclides resolve com divisões: divida o maior pelo menor, depois o divisor pelo resto, até o resto zerar. Para 18 e 12: 18 = 12 × 1 + 6, e 12 = 6 × 2 + 0. O último divisor, 6, é o MDC. Com mais de dois números, faça em cadeia: mdc(a, b, c) = mdc(mdc(a, b), c).

Como achar os primos sem sofrer

Os critérios de divisibilidade ajudam a começar a fatoração. Um número é divisível por 2 se termina em algarismo par; por 3 se a soma dos algarismos é múltiplo de 3; por 5 se termina em 0 ou 5; por 9 se a soma dos algarismos é múltiplo de 9. Em 234, a soma 2 + 3 + 4 = 9 mostra que ele é divisível por 3 e por 9.

Para saber se um número é primo, basta testar os primos até a raiz quadrada dele. Para 97, a raiz fica perto de 9,8, então só é preciso testar 2, 3, 5 e 7. Nenhum divide, e 97 é primo. A calculadora faz o mesmo teste, por isso aceita números de até 1 bilhão sem demorar.

Problemas que pedem MMC ou MDC

Dois ônibus saem juntos do terminal. Um passa a cada 12 minutos e o outro a cada 18. Eles voltam a sair juntos depois de mmc(12, 18) = 36 minutos. Pergunta de "quando coincide de novo" é MMC.

Duas fitas, de 12 m e 18 m, precisam ser cortadas em pedaços iguais, do maior tamanho possível, sem sobra. O tamanho é mdc(12, 18) = 6 m, e saem 2 + 3 = 5 pedaços. Pergunta de "dividir em partes iguais, o maior possível" é MDC.

Erros comuns

Trocar os expoentes. MMC usa o maior expoente; MDC, o menor.
Incluir no MDC um primo que não aparece em todos os números.
Na decomposição simultânea, multiplicar só os primos marcados para achar o MMC. O MMC usa todos.
Achar que MMC × MDC = produto vale para três números. Só vale para dois.

O uso mais comum do MMC é somar frações, e a calculadora de fração mostra essa conta passo a passo. O MDC aparece quando se simplifica uma equação, como na calculadora de equação do 2º grau. Para problemas de proporção, use a regra de três.

Perguntas frequentes

Como calcular o MMC?

Fatore os números em primos e multiplique todos os primos que aparecem, cada um com o maior expoente. Para 12 = 2² × 3 e 18 = 2 × 3², o MMC é 2² × 3² = 36. Na escola, o mais comum é a decomposição simultânea: dividir os números juntos pelos primos até sobrar 1 e multiplicar os divisores.

Como calcular o MDC?

Fatore os números e multiplique só os primos que aparecem em todos, cada um com o menor expoente. Para 12 e 18, os primos comuns são 2 e 3, com expoente 1: MDC = 2 × 3 = 6. Pelo algoritmo de Euclides também dá: 18 = 12 × 1 + 6 e 12 = 6 × 2 + 0, então o MDC é 6.

Qual a diferença entre MMC e MDC?

O MMC é o menor número que é múltiplo de todos (é maior ou igual ao maior deles). O MDC é o maior número que divide todos (é menor ou igual ao menor deles). MMC resolve problemas de "quando coincidem de novo"; MDC resolve problemas de "dividir em partes iguais do maior tamanho possível".

Como fazer MMC pela decomposição simultânea?

Escreva os números lado a lado e trace uma linha vertical. Divida pelo menor primo que divide pelo menos um deles; quem não é divisível desce igual. Repita até todos virarem 1. O MMC é o produto dos primos da direita. Os primos que dividiram todos os números ao mesmo tempo formam o MDC.

O que é o algoritmo de Euclides?

É um método para achar o MDC de dois números sem fatorar. Divida o maior pelo menor; depois divida o divisor pelo resto; repita até o resto dar zero. O último divisor usado é o MDC. Funciona bem mesmo com números grandes, em que fatorar seria demorado.

Quando o MDC é 1?

Quando os números não têm nenhum fator primo em comum. Eles são chamados de primos entre si, como 8 e 15. Nesse caso, para dois números, o MMC é simplesmente o produto deles: mmc(8, 15) = 120.

Para que serve o MMC nas frações?

Para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes. O MMC dos denominadores vira o novo denominador comum. Em 3/4 + 5/6, mmc(4, 6) = 12, e a conta fica 9/12 + 10/12 = 19/12.

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Fontes

Última revisão: 24/09/2026 · como calculamos