Calculadora de equação do segundo grau

Q: Para que servem a soma e o produto das raízes?

Pelas relações de Girard, a soma das raízes é −b/a e o produto é c/a. Servem para conferir a resposta e, em equações simples com a = 1, para achar as raízes de cabeça: em x² − 5x + 6 = 0, procure dois números que somam 5 e multiplicam 6. São 2 e 3.

Q: E se o coeficiente a for zero?

Então não é equação do 2º grau. Sobra bx + c = 0, que é do 1º grau, com uma única raiz x = −c ÷ b. A fórmula de Bhaskara não funciona porque teria divisão por zero.

Q: Precisa usar Bhaskara sempre?

Não. Equações incompletas saem mais rápido por fatoração ou isolando o x², e muitas completas com a = 1 saem por soma e produto. Bhaskara é o método que sempre funciona, por isso é o mais ensinado.

Digite os coeficientes a, b e c da equação ax² + bx + c = 0. A calculadora resolve por Bhaskara, mostra delta, raízes, vértice e o gráfico da parábola, passo a passo.

Duas raízes reais S = {2; 3} x² − 5x + 6 = 0

Delta (Δ): 1
x': 3
x'': 2
Soma (−b/a) e produto (c/a): 5 e 6
Vértice (xv; yv): (5/2; −1/4)
Concavidade: para cima (ponto de mínimo)
Forma fatorada: (x − 3)(x − 2)

Gráfico da parábola

Parábola e vértice (V) Raízes (onde corta o eixo x)

Resolução por Bhaskara

Identifique os coeficientes na forma ax² + bx + c = 0.
a = 1 b = −5 c = 6
Calcule o discriminante (delta).
Δ = b² − 4ac = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
Δ > 0: duas raízes reais e diferentes.
√Δ = √1 = 1
Aplique a fórmula de Bhaskara.
x = −b ± √Δ2a = 5 ± 12 · 1 = 5 ± 12
Separe o + e o −.
x' = 5 + 12 = 3
x'' = 5 − 12 = 2
Soma e produto das raízes (relações de Girard). Servem para conferir a resposta.
soma = −ba = 51 = 5
produto = ca = 61 = 6
Vértice da parábola. Como a > 0, a concavidade é para cima e o vértice é o ponto de mínimo.
x_v = −b2a = 5/2
y_v = −Δ4a = −14 = −1/4

Resumo rápido

Δ = b² − 4ac e x = (−b ± √Δ) ÷ 2a.
Δ > 0: duas raízes reais diferentes. Δ = 0: raiz dupla. Δ < 0: nenhuma raiz real.
Soma das raízes = −b/a e produto = c/a (relações de Girard).
Vértice: xv = −b/2a e yv = −Δ/4a. Com a > 0 a parábola abre para cima.

Como resolver equação do 2º grau

Uma equação do 2º grau tem a forma ax² + bx + c = 0, com a diferente de zero. Para resolver, calcule o delta, Δ = b² − 4ac, e aplique a fórmula de Bhaskara: x = (−b ± √Δ) ÷ 2a. O sinal ± dá as duas raízes. Se Δ for negativo, não há raiz real.

O tema entra no 8º ano com equações do tipo ax² = b (habilidade EF08MA09 da BNCC) e no 9º ano de forma completa, junto com fatoração e produtos notáveis (EF09MA09). No ensino médio volta como função quadrática, com gráfico, vértice e máximos e mínimos.

Passo a passo com Bhaskara

Primeiro, deixe a equação igualada a zero e identifique a, b e c com os sinais. Esse é o ponto em que mais gente erra: em 2x² − 3x − 2 = 0, b vale −3, não 3. Depois calcule delta, tire a raiz e separe o + do −.

Exemplo resolvido · 2x² − 3x − 2 = 0 a = 2, b = −3, c = −2
Δ = (−3)² − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16 = 25
x = (3 ± √25) ÷ (2 · 2) = (3 ± 5) ÷ 4
x' = (3 + 5) ÷ 4 = 8 ÷ 4 = 2
x'' = (3 − 5) ÷ 4 = −2 ÷ 4 = −1/2
S = {−1/2; 2} · soma = 3/2 = −b/a · produto = −1 = c/a

Os números conferem pelas relações de Girard: 2 + (−1/2) = 3/2, que é −(−3)/2, e 2 × (−1/2) = −1, que é −2/2. Se a soma ou o produto não baterem, há erro de sinal em algum lugar.

O que o delta diz sobre as raízes

Com Δ = 0, a raiz quadrada some e as duas raízes ficam iguais. Em x² − 6x + 9 = 0, Δ = 36 − 36 = 0 e x = 6 ÷ 2 = 3. O gráfico só encosta no eixo x, no vértice.

Com Δ negativo, não existe raiz quadrada real. Em x² + 2x + 5 = 0, Δ = 4 − 20 = −16. A resposta no conjunto dos reais é S = ∅. Quem já estudou números complexos escreve √(−16) = 4i e chega a x = (−2 ± 4i) ÷ 2 = −1 ± 2i. A calculadora mostra os dois jeitos.

Quando o delta não é quadrado perfeito, a raiz fica na forma simplificada. Em x² − 2x − 1 = 0, Δ = 8 e √8 = 2√2, então x = (2 ± 2√2) ÷ 2 = 1 ± √2, perto de 2,4142 e −0,4142.

Equações incompletas: o atalho

Se falta o termo em x (b = 0), isole o x² e tire a raiz dos dois lados, sem esquecer o ±. x² − 9 = 0 vira x² = 9, e x = 3 ou x = −3. Se falta o termo independente (c = 0), coloque x em evidência: x² − 4x = 0 vira x(x − 4) = 0, e um produto só dá zero se um dos fatores for zero, então x = 0 ou x = 4.

Vértice e gráfico

O gráfico de y = ax² + bx + c é uma parábola. As raízes são os pontos onde ela corta o eixo x. O vértice fica em xv = −b ÷ 2a e yv = −Δ ÷ 4a, sempre no meio das duas raízes. No exemplo padrão, x² − 5x + 6 = 0, o vértice é (5/2; −1/4): a parábola desce até −0,25 entre as raízes 2 e 3 e volta a subir. Em problemas de área máxima ou lucro máximo, a resposta está no vértice, não nas raízes.

Erros comuns

Perder o sinal de b ou de c. Troque as letras pelos números sempre entre parênteses: (−3)², e não −3².
Esquecer que −b com b negativo vira positivo.
Dividir só a raiz por 2a, e não o numerador inteiro (−b ± √Δ).
Tentar Bhaskara com a equação ainda não igualada a zero, como em x² = 5x − 6.

Quando as raízes saem em fração, a calculadora de fração converte para decimal e número misto. Para fatorar os coeficientes ou achar o MDC que simplifica a equação, use a calculadora de MMC e MDC. E se o problema for de proporção, e não de 2º grau, a regra de três resolve.

Perguntas frequentes

O que é delta na equação do 2º grau?

Delta (Δ) é o discriminante, o número que fica dentro da raiz na fórmula de Bhaskara: Δ = b² − 4ac. Ele diz quantas raízes reais a equação tem antes de você terminar a conta. Δ positivo: duas raízes diferentes. Δ igual a zero: uma raiz dupla. Δ negativo: nenhuma raiz real.

Qual é a fórmula de Bhaskara?

x = (−b ± √Δ) ÷ 2a, com Δ = b² − 4ac. O sinal ± gera as duas raízes: x' usa o + e x'' usa o −. A fórmula vale para qualquer equação ax² + bx + c = 0 com a diferente de zero.

O que fazer quando o delta é negativo?

No conjunto dos números reais, a equação não tem solução: S = ∅. A parábola não toca o eixo x. No ensino médio, com números complexos, as raízes existem e têm a forma p ± qi, em que i² = −1. A calculadora mostra as duas respostas.

Como resolver equação do 2º grau incompleta?

Se b = 0, isole o x²: em x² − 9 = 0, x² = 9 e x = ±3. Se c = 0, coloque x em evidência: em x² − 4x = 0, x(x − 4) = 0, então x = 0 ou x = 4. Bhaskara também resolve, só dá mais trabalho.

Como achar o vértice da parábola?

Use xv = −b ÷ 2a e yv = −Δ ÷ 4a. O xv fica exatamente no meio das duas raízes. Se a > 0, o vértice é o ponto mais baixo da parábola (mínimo); se a < 0, é o mais alto (máximo).

Para que servem a soma e o produto das raízes?