Calculadora de logaritmo: log, ln e mudança de base

Passo a passo

Definição: log₂ x é o expoente que se põe na base 2 para chegar em x. Procuramos y tal que:
log₂(8) = y ⇔ 2^y = 8
8 é potência de 2, então o resultado é exato.
2³ = 8 ⇒ log₂(8) = 3
Conferindo pela mudança de base: divida o logaritmo de x pelo da base, na base que a calculadora tiver (ln ou log).
log₂(8) = ln 8ln 2 = 2,0794420,693147 = 3
ou log 8log 2 = 0,903090,30103 = 3
Confira elevando a base ao resultado.
2³ = 8

Como calcular logaritmo

O logaritmo de x na base b é o expoente que transforma b em x: log_b x = y quando b^y = x. Para calcular numa base qualquer, divida o logaritmo de x pelo logaritmo da base, usando ln ou log da calculadora: log_b x = ln x ÷ ln b. O número x precisa ser positivo, e a base, positiva e diferente de 1.

Na BNCC, logaritmos entram no ensino médio em duas habilidades: resolver problemas com funções logarítmicas, em contextos como pH, abalos sísmicos e matemática financeira (EM13MAT305), e comparar os gráficos da exponencial e do logaritmo (EM13MAT403).

Quando o resultado é exato

Se x é uma potência da base, não precisa de calculadora. log₂ 8 = 3 porque 2³ = 8. log₁₀ 0,01 = −2 porque 10⁻² = 1/100. O expoente também pode ser fração: log₄ 2 = 1/2, porque 4 elevado a 1/2 é a raiz quadrada de 4, que é 2. E log₈ 32 = 5/3, porque 8 e 32 são potências de 2 (2³ e 2⁵). A calculadora testa esses casos com números inteiros grandes, sem arredondar, e mostra a fração quando ela existe.

Mudança de base

A calculadora científica comum só tem as teclas log (base 10) e ln (base e). Para qualquer outra base, divida.

Exemplo resolvido · log₃ 10 log₃ 10 = log 10 ÷ log 3
= 1 ÷ 0,477121
= 2,095903
Pelo ln: ln 10 ÷ ln 3 = 2,095903, o mesmo resultado
Conferência: 3² = 9 e 3³ = 27, então o resultado tinha de ficar entre 2 e 3

Propriedades, com um exemplo de cada

As três propriedades abaixo valem em qualquer base, desde que os números sejam positivos. Os exemplos usam números que dão resultado exato, para você conferir de cabeça.

Produto: log_b(M · N) = log_b M + log_b N. Exemplo: log₂(8 · 4) = log₂ 32 = 5, e log₂ 8 + log₂ 4 = 3 + 2 = 5.
Quociente: log_b(M ÷ N) = log_b M − log_b N. Exemplo: log₃(81 ÷ 9) = log₃ 9 = 2, e log₃ 81 − log₃ 9 = 4 − 2 = 2.
Potência: log_b(M^k) = k · log_b M. Exemplo: log₂(8³) = log₂ 512 = 9, e 3 · log₂ 8 = 3 · 3 = 9.

Duas consequências da definição aparecem o tempo todo: log_b 1 = 0 e log_b b = 1. Não existe regra para o log de uma soma: log(M + N) não é log M + log N.

Equação exponencial: aˣ = b

Quando a incógnita está no expoente, aplique log dos dois lados. A propriedade da potência "desce" o x: x · log a = log b, e x = log b ÷ log a. É assim que se descobre, por exemplo, em quanto tempo um valor dobra com juros compostos.

Exemplo resolvido · 1,05ˣ = 2 (em quantos meses dobra a 5% ao mês) log(1,05ˣ) = log 2
x · log 1,05 = log 2
x = 0,30103 ÷ 0,021189
x = 14,206699, pouco mais de 14 meses

Os logaritmos intermediários foram mostrados com 6 casas, e a divisão foi feita com todas as casas. Dividir os valores já arredondados dá um resultado um pouco diferente na última casa.

Erros comuns

Calcular log de zero ou de negativo. Não existe nos reais; a calculadora explica por quê.
Trocar a ordem na mudança de base: é log x ÷ log b, e não log b ÷ log x.
Achar que log(M + N) = log M + log N. A regra do produto vale para multiplicação.
Usar ln quando o exercício pede log decimal, ou o contrário. O resultado muda.

Para o crescimento de um investimento mês a mês, use a calculadora de juros compostos. O log na base 2 diz quantos dígitos um número tem em binário: a parte inteira de log₂ n, mais 1. Como log₂ 1.000 ≈ 9,965784, mil se escreve com 10 dígitos, o que você confere na calculadora binária. Se a equação for de 2º grau, e não exponencial, a calculadora de Bhaskara resolve. E sistemas com várias incógnitas passam pela calculadora de matriz e determinante.

Perguntas frequentes

O que é logaritmo?

É um expoente. O logaritmo de x na base b é o número y tal que b elevado a y dá x. Por exemplo, log₂ 8 = 3 porque 2³ = 8. Calcular um logaritmo é responder "a que potência eu elevo a base para chegar nesse número?".

Qual a diferença entre log e ln?

Muda só a base. log, sem base escrita, é o logaritmo na base 10 (o decimal). ln é o logaritmo natural, na base e ≈ 2,718282. log 100 = 2, porque 10² = 100, e ln 100 ≈ 4,60517.

Como calcular logaritmo em outra base na calculadora científica?

Use a mudança de base: log_b x = log x ÷ log b, ou ln x ÷ ln b, que dá o mesmo resultado. Para log₃ 10, faça log 10 ÷ log 3 = 1 ÷ 0,477121 ≈ 2,095903.

Por que não existe logaritmo de número negativo ou de zero?

Porque uma base positiva elevada a qualquer expoente real dá sempre um número positivo. Não há expoente que faça 2 virar −4 ou 0. Por isso a condição de existência pede x > 0.

Por que a base não pode ser 1, nem negativa?

Com base 1, qualquer potência dá 1, então não haveria resposta para log₁ 5, e log₁ 1 teria infinitas. Com base negativa, potências como (−2)^0,5 não existem nos reais. A condição é base maior que zero e diferente de 1.

Quanto é log de 1?

Zero, em qualquer base, porque qualquer número positivo elevado a 0 dá 1. E o logaritmo da própria base é 1: log₅ 5 = 1, ln e = 1, log 10 = 1.

Como resolver uma equação exponencial com logaritmo?

Aplique log dos dois lados e use a propriedade da potência para "descer" o expoente. Em 2ˣ = 10: x · log 2 = log 10, e x = log 10 ÷ log 2 ≈ 3,321928. Se os dois lados viram potências da mesma base, como 4ˣ = 8 (2²ˣ = 2³), dá para resolver sem calculadora: x = 3/2.

Quais são as propriedades dos logaritmos?

Produto: log(M·N) = log M + log N. Quociente: log(M/N) = log M − log N. Potência: log(Mᵏ) = k · log M. Mudança de base: log_b x = log_c x ÷ log_c b. Todas valem na mesma base e com M e N positivos.

Calculadora de logaritmo

Memória de cálculo